miercuri, 26 iulie 2017

Despre vise

Ce sunt visele ? De-a lungul timpului, oamenii s-au întrebat ce sunt acestea și cum ar trebui să le interpreteze, mai ales că sunt legate de diverse științe, cum ar fi psihologia, filozofia,  neuroştiinţa, chiar și religia. În funcție de cine face referire la vise, se desprind câteva moduri majore de interpretare a acestora : unii le văd ca pe niște profeții, alții cred că îți spun ceea ce trebuie să faci, Freud credea că reprezintă impulsuri ale inconștientului, iar mai nou oamenii de știință cred că visele sunt în realitate fapte, sau prezintă memoriile fiecărei persoane.
Diversele experimente moderne nu au adus ceva concret în interpretarea viselor, dar observând cele mai noi creeații din domeniul tehnicilor de calcul, se poate spune că pot fi asimilate unor programe de calculator ce rulează în background, pentru sistematizarea și comprimarea datelor. Poate pare curios cum se poate compara activitatea creierului cu cea a unui calculator, dar trebuie luat în considerare că acesta din urmă este un model simplificat al creierului uman iar componentele fizice ale unui calculator au fost construite poate neintenționat, dar în mod necesar după modelele noastre de gândire.
În general, dacă ne concentrăm atenția asupra unor lucruri de interes imediat în activitatea zilnică, înregistrăm în memorie imagini și reprezentări ale tuturor celorlalte senzații obținute de la simțurile primare, chiar dacă nu suntem conștienți de acest lucru. Este un proces automat, care nu poate fi întrerupt decât prin somn, care nu e întâmplător, având un rol fiziologic foarte important.
Pentru fixarea informațiilor în memoria pe termen lung, se realizează legături complexe între sinapse, ce necesită foarte multă energie, dar și “spaţiu” în memorie.
O informație e memorată pe termen lung, atunci când e legată sinaptic prin circuitele neuronale, cu toate celelalte informații cu care are legătură directă și care sunt prezente în această memorie, al cărei suport neuronal e similar tehnic cu HDD-ul unui calculator. Somnul are rolul de a sistematiza și comprima informațiile brute, cu detalii de multe ori inutile, stocate pe timpul zilei, chiar și pe cele de care nu suntem conștienți la momentul înregistrării. În mod normal, pe timpul unei zile, spațiul disponibil în memoria noastră se umple (de-asta avem foarte mulți neuroni, din care folosim foarte puțini), iar senzația de somn apare când capacitatea de stocare este aproape integral folosită. (este posibil ca dezvoltarea creierului să fie influențată și de ritmul circadian, într-un loc unde ziua și noaptea sunt mai lungi, putând favoriza o dezvoltare a capacității de stocare și de procesare ulterioară a informației, prin dezvoltarea unui creier mai mare). În timpul somnului, când memoria pe termen scurt este plină, creierul declanșează un “program” de sistematizare a informațiilor acumulate, golind această memorie de informații redundante și caută să lege informațiile noi care sunt fără legătură cu altele mai vechi, mai solide (cum ar fi simboluri, lucruri ce ne-au impresionat, etc.), căutând similarități de structurare și organizare, neputând acumula la nesfârșit informații brute. Se poate constata acest lucru, prin faptul că persoanele private de somn, încep să-și piardă treptat capacitatea de a gândi coerent, pentru că de fapt creierul caută să șteargă din memorie date de bază pentru a face loc informațiilor acumulate în perioada de veghe. Dacă această perioadă este prelungită, subiectul moare, pentru că pentru a face loc informațiilor noi, brute, creierul șterge informații și conexiuni mai vechi, până ajunge să le șteargă inclusiv pe cele legate de funcționarea organismului. Somnul apare astfel ca un mecanism de echilibrare între informațiile stocate deja în memorie și cele brute, încă neorganizate, ce se depozitează în creier pe timpul activității conștiente neîntrerupte.
Dormind, fiecare informație ce poate fi conștientizată, deja stocată în memorie, e legată de cele noi, înregistrate în timpul zilei, producându-se astfel o “comprimare” a informațiilor brute și încă neprelucrate, prin descompunerea în fragmente mai mici, similare cu cele deja existente, păstrându-se în memorie doar schema lucrurilor noi, informațiile componentelor de baza fiind deja în memorie, nemaitrebuind sa fie reînregistrate. Astfel informațiile redundante se șterg, funcție de importanța lor în noile “înregistrări”. Dar există informații noi ce nu se pot lega în totalitate de cele deja existente și ele trec atunci în memoria operativă pe termen scurt, un fel de memorie similară cu memoria RAM a calculatorului, iar creierul caută în permanență să structureze aceste informații cu ajutorul modelelor structurale anterioare, deja fixate (un fel de programe de analiză și reprezentare). Astfel, învățarea devine mai mult un proces de memorare a organizării și de integrare a acesteia în sistemul deja fixat de organizare al interpretării informațiilor noi.
Informațiile neimportante sau redundante se șterg, iar cele super redundante se înmagazinează în zona neurovegetativă, a reflexelor necondiționate, de tip analog. Din acest motiv, nu observăm în permanență mici modificări ale obiectelor foarte comune, sau când citim nu observăm lipsa unor litere din text, creierul înlocuind lipsa lor cu imaginea corectă, deja înmagazinată.
Memoria operațională are capacitate mică (la fel ca în cazul memoriei interne a procesoarelor calculatoarelor), dar ea funcționează permanent, inclusiv în timpul somnului. Este exact ca un calculator ce funcționează în modul “sleep”. Dacă întrerupem acest proces cerebral permanent, este ca și cum am întrerupe calculatorul de la curent. Se distrug însă inclusiv informațiile din sistemul neurovegetativ, similar cu BIOS-ul, care informații în cazul calculatoarelor se mențin cu ajutorul unei mici baterii. În cazul în care ștergem și BIOS-ul unui calculator, procesul de refacere al funcționalității acestuia seamănă cu o naștere, iar acumularea de informație pentru programele operaționale este un proces destul de îndelungat, fiind necesare înregistrarea driverelor de sistem, a sistemului de operare și apoi a programelor operaționale, procese asimilabile în cazul omului cu procesul de creștere și educație până la vârsta la care poate executa cu acuratețe programele comportamentale induse de educație.
Dacă în memoria pe termen lung nu se găsesc astfel de structuri sau informații, ce pot corela noile date brute cu elementele și structurile vechi, se produce ceea ce numim vis. Din acest motiv visele sunt așa de ciudate, pentru că în acest timp creierul caută legături cu structuri ce pot fi conștientizate, și de multe ori ni le amintim, pentru că în încercarea sa de a goli memoria pe termen scurt, creierul asociază noile structuri cu cele deja existente, până epuizează toate posibilitățile. Legăturile eronat făcute între informația nouă și cele vechi din memoria pe termen lung, dau caracterul de ciudățenie al viselor. De multe ori, informația nouă nu e utilă sau nu are sens, caz în care uităm ce am visat. Creierul consideră noua informație lipsită de sens în cazul în care contravine flagrant cu cele mai elementare și mai bine înrădăcinate informații considerate ca fiind adevărate și utile, verificate prin experiență. Când informațiile sunt șterse sau structurate în conformitate cu cele vechi, suntem mai relaxați, iar memoria pe termen scurt se eliberează de informații, gata pentru o nouă “repriză de încărcare” cu informații noi. De aceea copii mici dorm foarte mult, pentru că “programul” de organizare trebuie să lucreze cu o mulțime de informații noi, pe care le sortează și structurează fixându-le la locul potrivit, funcție de nevoile și posibilitățile sale fiziologice, deja moștenite de la părinți.
Acest “program” este cumva stabilit de codul genetic al fiecărui individ și cu siguranță este adaptat corespunzător tipurilor de temperament, înclinații, talente și altele asemenea, legate direct de procesele fiziologice ale organismului.
Dacă “programul” de asociere derulat în timpul visului lasă probleme nerezolvate, acestea se acumulează în memoria pe termen scurt, putând genera obsesii în lipsa unei perioade prelungite în care nu se găsește o soluție de integrare în sistemul existent al memoriei pe termen lung, prin adăugarea unor structuri noi, “programe” noi care să ajute la fixarea organizată a informațiilor, ori în cazul incompatibilității totale ale acestor noi “programe”, mai precis moduri de gândire, cu cele preexistente. De exemplu, dacă dai unui calculator INTEL să rezolve o problemă structurată pentru un calculator MACINTOSH, acesta se blochează în prelucrarea continuă a acelei informații, neștiind ce să facă și cum să prelucreze informația, dar căutând soluții, nemaifăcând altceva, chiar dacă are programul de prelucrare pe care nu-l poate interpreta, situație echivalentă cu a unei obsesii.
Cel mai intens discutate au fost de-a lungul timpului, visele “premonitorii”. Este celebru primul vis înregistrat în istoria cunoscută, cel al regelui Dumuzi al Urukului, ce datează chiar dinaintea consemnării epopeii lui Ghilgameş, se presupune acum aproximativ 4500 de ani. Visul era prezentat astfel : "Un vultur a răpit un miel din turma de oi. Un șoim a înșfăcat o vrabie de pe un gard de stuf. Stâna unde se adăpostesc turmele de oi este distrusă." Regele a fost extrem de înspăimântat cu privire la acest vis, iar sfatul surorii sale, care se ocupa cu descifrarea viselor, a fost acela că vor apărea evenimente nefaste, așa că el va trebui să se ferească de acestea. Deși distanța în timp este foarte mare până acum, putem presupune că evenimentele descrise în visul regelui chiar au fost observate de acesta sau i-au fost aduse la cunoștință, dar atenția acestuia nu a fost îndreptată la momentul producerii lor către aceste lucruri, fiind considerate neimportante față de activitățile principale ale regelui. Totuși, la reluarea șirului evenimentelor de către “programul” de organizare a informațiilor responsabil cu visul, acesta a constatat unele nepotriviri cu realitatea anterioară, pe care le-a plasat în memoria pe termen scurt a regelui, pentru a doua zi, în scopul găsirii de informații suplimentare ce ar fi permis stocarea informațiilor pe termen lung. Nepotrivirile ar fi putut consta în faptul că regele știa că turmele sale sunt bine păzite și doar un eveniment imprevizibil ar fi putut lăsa vulturul să ia mielul din mijlocul turmei, etc. Cum informațiile primite nu se potriveau modelului din mintea regelui, era clar că acesta trebuia să ia măsuri suplimentare de cercetare a cauzelor ce generau efecte contrare ordinii stabilite, sfat pe care l-a și primit de la sora sa.
În interpretările esoterice sau religioase, visul este interpretat ca revelație. De fapt, mecanismul “programului” neuronal ce produce visele, plasează în memoria pe termen scurt, zilnică, tot felul de probleme nerezolvate, dar nu numai nepotrivirile dintre sistemul de gândire și informația nouă, dar și soluțiile cele mai apropiate pe care le poate găsi. Astfel subiectul care visează, poate găsi printre modalitățile de gândire preexistente, termeni ce se pot potrivi noilor informații, făcând mai ușoara găsirea unui mod de integrare, de data aceasta conștient. Chiar mulți oameni de știință recunosc faptul că au avut astfel de experiențe numite revelații, construite de fapt cu ajutorul acestui mecanism. De cele mai multe ori, aceste revelații se regăsesc în noi axiome emise de oamenii de știință, în lipsa unui mecanism adecvat pentru integrarea în sistemul inițial de cunoștințe.
Bazat pe aceste observații, se poate spune că folosind aceste structuri dinamice de operare din interiorul creierului, se pot aduce îmbunătățiri modului în care funcționează calculatoarele, îmbunătățindu-le performanțele. Elaborarea permanentă de algoritmi de calcul din ce în ce mai perfecționați, conduce către acest deziderat. Cu toate acestea, pentru îmbunătățirea vitezei de calcul și rezolvarea concomitentă a diverselor tipuri de probleme complexe, este necesară modificarea tipului de procesare al componentelor elementare ale unui calculator, tranzistorii, care trebuie să aibă o structură cât mai apropiată de cea a neuronului. Modele actuale de calculatoare aşazis “cuantice”, nefiind viabile datorită principiului incertitudinii. Dar despre aceasta, într-un articol viitor.

duminică, 26 martie 2017

Cuadratura cercului

Acesta este un fragment dintr-o lucrare mai amplă, din păcate nefinalizată, ce îşi propune schimbarea modului în care vedem, interpretăm şi definim ştiinţa, astfel încât acest lucru să ducă la rezolvarea problemelor aparent insurmontabile puse în fata acesteia. Cuprinde observaţii şi aprecieri ce par să depăşească cadrul cunoscut, dar fără acest tip de abordare, progresele ştiinţifice următoare nu vor fi posibile.

Cuadratura cercului este una dintre cele mai vechi probleme dar se poate considera relevantă, pentru că a indus până acum o sumedenie de neînţelegeri cu privire la matematică şi rolul acesteia în cercetarea ştiinţifică, cu precădere în domeniul fizicii şi care subliniază inseparabilitatea lumii fizice de cea a calculului matematic.
Grecii antici, şi-au pus următoarea problemă : dacă se pot construi figuri geometrice cu aria egală cu a altor figuri geometrice, cum ar fi un pătrat cu aria egală cu a unui triunghi, nu s-ar putea desena cu ajutorul riglei şi compasului un pătrat cu aceeaşi arie cu a unui cerc oarecare?
Chiar şi în zilele noastre, se presupune că ce i-a încurcat pe geometrii tuturor timpurilor să facă acest lucru, ar fi numărul π. Cu toate astea, vom vedea că problema nu rezidă în iraţionabilitatea sau transcendenţa lui π, ci mai degrabă într-o greşită înţelegere a utilizării instrumentelor necesare construcţiei geometrice. Problema este de măsurare şi construcţie a curbelor, ce au nevoie de mai mult de o riglă negradată pentru aceasta.
Problema în sine, este simplă : cum să construieşti un pătrat care să aibă aria egală cu aria unui cerc oarecare, folosind o linie şi un compas. Deşi sarcina pare elementară, se dovedeşte a fi imposibilă în condiţiile impuse de enunţ.
Construcţia obiectelor geometrice cu ajutorul celor două unelte de bază din geometrie, rigla şi compasul, este o problemă pe care Euclid o cunoştea şi a căutat să o explice cât mai bine, totuşi nicăieri nu se face vreo referire la instrumentele necesare construcţiilor geometrice. Problema de fapt este mult mai veche (se presupune că Platon a iniţiat această tradiţie) şi se referă la posibilitatea construcţiilor geometrice folosind numai două instrumente fundamentale, neetalonate, ţinând cont de faptul că unităţile pot fi stabilite arbitrar, în consecinţă, fără utilizarea numerelor. De fapt, lucrarea „Elementele” a lui Euclid, nu conţine numere. Această metodă de construcţie, cunoscută ca „metoda planului”, a dat rezultate pentru majoritatea problemelor, însă probleme cum ar fi cuadratura cercului, dublarea cubului şi împărţirea în trei părţi egale a unui unghi, nu au putut fi rezolvate cu ajutorul acestei metode. Se va arăta în continuare că problema a fost de alegere greşită a instrumentelor. Ca o ipoteză intuitivă, este de presupus că grecii doar au preluat şi reprodus cunoştinţe care li s-au părut utile de la popoare mult mai vechi, care le-au parvenit prin scrieri incomplete, oral, sau din auzite, prin nespecialişti, care deşi au avut parte de o educaţie tehnică , nu au dobândit-o într-un un sistem de învăţământ adecvat, cel mai probabil fiind autodidacţi, nu s-au numărat printre cei mai calificaţi să predea sistematic şi coerent aceste cunoştinţe.


De-a lungul istoriei, numeroşi matematicieni s-au ocupat de problemă. Anaxagoras[1] este printre primii din cei cunoscuţi ce s-au ocupat de problemă, apoi Antiphon[2] a căutat să aproximeze aria cercului înscriind într-un cerc poligoane cu din ce în ce mai multe laturi. Bryson a căutat să circumscrie cercului poligoane cu din ce în ce mai multe laturi, ajungând la concluzia că aria cercului trebuia să se încadreze  între valoarea ariei poligonului circumscris cercului şi valoarea ariei figurii înscrise cu acelaş număr de laturi. Hippocrate din Chios[3] a construit un pătrat cu aria egală cu a unei figuri geometrice numite „lună”, ca în figura de mai sus. Mai târziu, Leonard Euler a mai găsit încă două tipuri de „luni” pentru care se pot construi pătrate cu arii egale.

Dinostratus (390-320 î.e.n.) şi Nocomedes (280-210 î.e.n.) au folosit o curbă numită "quadratix" (atribuită lui Hippias)  pentru a rezolva cuadratura cercului. Deasemenea, binecunoscuta spirală a lui Arhimede a fost iniţial tot o încercare de rezolvare a cuadraturii cercului.
Utilizarea instrumentelor neetalonate este un fapt foarte important, căci în realitate matematica este interesată mai mult de relaţiile dintre diverse trăsături ale figurilor geometrice decât de normarea sau de formalizarea numerică a acestora, acest lucru fiind în principiu arbitrar. În cartea a XII-a a Elementelor, care tratează ariile cercurilor, precum şi volumele piramidelor, conurilor, cilindrilor şi sferelor, propoziţiile se mărginesc la descrierea raporturilor : “Cercurile sunt între ele ca pătratele diametrelor.”“Orice prismă având baza triunghiulară se împarte în trei piramide egale între ele având baze triunghiulare.”, sau  “Sferele sunt între ele în raportul cuburilor diametrelor.” Evitarea unui formalism matematic pare să fie intenţionată, urmărindu-se esenţa problemelor şi nu formalizarea de tip numeric ori simbolic, ceea ce se observă şi în prima propoziţie din Cartea a X-a (atribuită lui Eudoxus) : “Fiind date două mărimi neegale, dacă din cea mai mare se scade una mai mare decât jumătatea ei, iar din cea rămasă, una mai mare decât jumătatea ei, şi aceasta se repetă continuu, va rămâne o mărime oarecare care va fi mai mică decât mărimea cea mai mică considerată.”. Este adevărat că textul este greu de urmărit, dar el face legătura directă între obiectivitatea naturală şi formalismul matematic, constituind un model formal universal valabil.
Această concluzie se bazează pe faptul că este curioasă convingerea aproape de sacralitate pe care atât Euclid cât şi geometrii de mai târziu o aveau despre faptul că orice construcţie geometrică se poate realiza cu ajutorul a numai două unelte : rigla şi compasul, dar numai acelea şi nu altele. Ei ştiau dintr-o sursă sigură faptul că aşa se procedează, dar au făcut o gravă eroare cu privire la forma şi natura celor două instrumente.
Se poate presupune că Platon ce a impus folosirea riglei şi compasului în construcţiile geometrice, doar a preluat ideea probabil din scrieri mai vechi, fără să înţeleagă întregul context, cu siguranţă datorită diferenţelor de limbaj. Probabil că din scrierea iniţială s-a păstrat numai textul până unde se dădeau instrucţiuni pentru construcţia cercului, folosind compasul pentru uşurarea construcţiei. Limbajul folosit în scrierea din care s-au preluat informaţiile era cu siguranţă mult mai evoluat decât limbajul grecilor. Informaţia a fost preluată probabil dintr-o sursă originală fragmentară, din care s-a păstrat numai o parte, restul fiind pierdut sau distrus intenţionat, ca urmare a mentalităţii de atunci, care presupunea încredinţarea cunoştinţelor de natură superioară numai celor cu o moralitate ireproşabilă, cunoscută fiind puterea distructivă a acestor cunoştinţe în cazul în care ar fi fost utilizate de oameni rău intenţionaţi sau needucaţi. Trebuie făcută şi diferenţa dintre educaţie şi ştiinţă, în zilele noastre punându-se mai mult accentul pe ştiinţă, confundându-se din ce în ce mai mult una cu alta. Este binecunoscută expresia „educated people”, ce desemnează persoane ce şi-au desăvârşit studiile universitare, ori acestea presupun din ce în ce mai mult acumularea de cunoştinţe şi deprinderi de natură tehnică şi din ce în ce mai puţine deprinderi şi valori morale.
Aceasta este o problemă legată de noţiunea de compas. Deşi se păstrează corect încă în limba română în expresii cum ar fi : „A-și pierde compasul = a se încurca, a se zăpăci, a-și pierde capul.”[4], noţiunea de compas, ca instrument de orientare, şi nu de trasare sau măsurare, semantica acesteia, s-a diluat, deformându-se în limbajul curent actual. În limbile germanice, folosite de popoare cu înclinaţii şi preocupări preponderent tehnice, noţiunea de compas şi-a păstrat atât valoarea fonetică cât şi semantică. Cuvântul „compass” din limba engleză desemnează o busolă, un obiect circular, cu ajutorul căruia se poate face orientarea. Cuvântul „compas” din limbile latine se traduce în engleză prin „divider”, ceva care divizează, împarte în părţi egale, asemănătoare ca lungime, atât lungimi de curbură constantă cât şi drepte, care nu sunt de fapt decât lungimi de curbură nulă. În realitate, acesta din urmă este sensul noţiunii ce semnifică instrumentul cu două braţe folosit la măsurarea lungimilor sau trasarea cercurilor şi a arcelor[5] de cerc, fiind un fel de riglă extensibilă. S-a creeat astfel o confuzie între noţiuni, probabil din cauza diferenţelor semantice de limbaj şi a asemănărilor fonetice a termenilor acestuia. Insuficienta cunoaştere reciprocă a limbajului din şi în care s-au făcut traducerile textelor antice sau ale explicaţiilor vorbite prin intermediul cărora cunoştinţele matematice au ajuns la greci, a dus la confuzii atât lingvistice cât şi de întrebuinţare corectă, proprie, a instrumentelor  geometrice, dar şi de confuzie a obiectelor în sine, în întrebuinţarea lor.
Aceasta ne relevă o perspectivă cu totul diferită asupra lumii antice, în care schimburile de cunoştinţe erau mult mai intense decât presupun istoricii. Ca asemănare fonetică importantă mai poate fi amintită şi o alta foarte sugestivă. Pe insula grecească Lefkada, există o localitate numită Vasiliki unde arheologul Wilhelm Dörpfeld (care l-a ajutat pe Schilemann la descoperirea Troiei), presupune că a revenit Ulise din legendara sa călătorie, (înainte de a ajunge la locuinţa sa din Itaca) pentru că aici a găsit o peşteră cu oase de porc ce se potriveste descrierii din Odiseea a locului unde păstorul Eumaios îşi ţinea animalele. Arheologul mai presupune şi că Lefkada ar fi fost pământul de baştină al lui Ulise, cu toate că este posibil ca ambele insule să fi aparţinut aceluiaşi regat. Trecând peste disputele istorice, în această localitate există încă de pe acea vreme un atelier de fierărie care produce cu preponderenţă un gen de cuţite foarte ascuţite, denumite knifos (kνiφωσ). Asemănarea fonetică cu forma "knife" din limba engleză este evidentă şi acest lucru presupune existenţa unor meseriaşi fierari organizaţi cel mai probabil sub formă de bresle, cu un jargon răspândit în toată Europa acelor timpuri. Acest fenomen, dependent de un comportament social, se observă şi azi, fiecare breaslă utilizând în comunicare termeni specifici, folosiţi numai în interiorul breslei, altfel lipsiţi de înţeles pentru ascultătorul neavizat. Probabil că tot ei, posesori ai unor cunoştinţe avansate de metalurgie despre a căror origine nu se poate spune mare lucru, au răspândit în Grecia antică şi noţiunea de "compas", căreia îi dădeau în jargon, sensul de busolă şi nu aşa cum a presupus Platon şi mai apoi Euclid, de instrument de desen cu două braţe, care este mai degrabă similar unei rigle din punct de vedere funcţional.
Astfel, construcţia formelor geometrice ale dreptei şi cercului cu rigla şi compasul înseamnă de fapt cu rigla şi busola, amble trăsături reprezentând lungimi cu curburi constante: pentru dreaptă curbură nulă, iar pentru cerc, orice altă curbură nenulă, dar constantă.
De fapt compasul (cel din accepţiunea modernă care trebuie oricum modificată, măcar semantic) este tot o riglă, dar de lungime variabilă. Cum ai nevoie de două unelte de naturi diferite pentru orice construcţii geometrice, este absurd să foloseşti două unelte de acelaşi fel. Euclid nu a înţeles că factorul comun între curbe şi drepte este lungimea, aceasta fiind independentă de curbura sa. Această confuzie s-a perpetuat de-a lungul timpului şi se presupune până azi că instrumentele fundamentale de construcţie geometrică sunt rigla şi compasul, când de fapt ele sunt rigla şi discul (sau busola). Cu ajutorul lor se pot transforma lungimile curbelor în lungimile dreptelor. Compasul din accepţia modernă este doar un instrument pentru o gradare rapidă, nefiind strict necesar construcţiilor geometrice. Toate problemele la care Euclid a dat o soluţie prin folosirea celor două unelte pe care el le credea esenţiale, se pot realiza foarte bine şi cu utilizarea unei rigle simple, fără compas.
Acest lucru indică faptul că Euclid, ca şi ceilalţi  învăţaţi greci, au preluat cunoştinţele de la o civilizaţie avansată, dar au făcut acest lucru numai fragmentar sau fără să înţeleagă întregul sens al cunoştinţelor preluate. Este oricum evident că aceste cunoştinţe nu au fost transmise direct, ci de-a lungul mai multor generaţii, timp în care s-au pierdut concepte importante, ce nu li s-au părut relevante celor ce au transcris sau au preluat cunoştinţele de la sursă, ori le-au considerat cunoştinţe comune, nedemne de a fi explicate suplimentar. Este ca şi cum un elev de nivel mediu de liceu, s-ar apuca să transmită cunoştinţe de fizică avansată unor triburi aborigene africane.

Problema este ceva mai complicată, pentru că discuţia se referă numai la figurile geometrice plane (de unde şi denumirea de „metoda planului”), lucru ce limitează cumva generalitatea axiomelor din lucrarea „Elementele” a lui Euclid, pentru că diferenţele conceptuale între lungimi şi curburile lor sunt similare cu acelea între suprafeţe şi curburile lor. Aşa cum nu orice lungime este o dreaptă, tot astfel, nici orice suprafaţă nu este un plan. Principala problemă în construcţia geometrică este că trebuie stabilită o metodă prin care să putem construi o dreaptă de lungime π şi una de lungime 1, atâta timp cât ştim numai măsura uneia din ele. Este o problemă de proporţii. Este evident însă că la începuturile geometriei, lucrurile trebuiau simplificate cât mai mult, pentru stabilirea unui punct de pornire cât mai general. Astăzi însă, este greu de imaginat un domeniu tehnic lipsit de avantajele geometriei proiective.
Se presupune că Euclid nu ar fi avut la îndemână pentru a construi figuri geometrice  decât rigla şi compasul (modern). Mecanismul descoperit la Anthikitera infirmă acest lucru, şi este greu de crezut că ar fi fost imposibilă construcţia unui disc, din moment ce cunoşteau şi foloseau instrumentul geometric cu două braţe, lucru care confirmă confuzia semnalată. Compasul din accepţiunea modernă poate fi folosit pentru măsurări repetate ale unei distanţe de-a lungul unei drepte, şi nu este esenţial pentru construcţii geometrice efective. Pentru construcţia cercurilor se poate folosi rigla. Deasemeni este greu de crezut că este nevoie de riglă şi compas pentru construcţia figurilor geometrice, din moment ce „metodele grădinarului” implică numai ţăruşi şi sfoară, cu ajutorul lor putându-se construi orice forme geometrice, inclusiv curbe aferente ecuaţiilor pătratice şi cu siguranţă, cu puţin efort, chiar a celor cubice. Am amintit aici metoda grădinarului adică geometria, datorită etimologiei cuvântului, care provine din limba greacă (γεωμετρία : γεω = pământ, μετρία = măsură) şi înseamnă tehnica măsurării pământului.
În mod sigur, tehnica “măsurării pământului” nu se referea numai la măsurarea suprafeţelor agricole, ci la măsurarea întregului glob pământesc, cuvântul “pământ” având în context o semnificaţie mult mai largă decât desemnarea unor simple terenuri agricole. Fără teama de a greşi prea mult, putem afirma că termenul a fost preluat de la o cultură anterioară mult mai avansată, dispărută din motive care ne scapă, dar care cunoştea şi utiliza forma şi dimensiunile planetei noastre. De fapt, legendele şi miturile despre “cronica Akasha” sau alte locuri secrete în care s-ar afla cunoştinţele integrale ale fostei civilizaţii sugerează că ele au existat şi cumva civilizaţia greacă a avut acces parţial la acestea, în mod deliberat sau accidental.
În geometria „clasică”[6], în care folosim pentru construcţii geometrice hârtia şi instrumente de scris, aceste metode nu sunt foarte precise, deşi cu ajutorul unor unelte mai elaborate pot fi folosite cu succes.
Lăsând deoparte confuziile anticilor şi ignorând motivele lingvistice de natură istorică ale acestora, revenind în lumea modernă, trebuie clarificate aspectele care au dus la acreditarea ideii de neconstructibilitate a numerelor transcedentale, în speţă a numnărului π.
Numărul π nu poate fi scris ca raport a două numere întregi, lucru dovedit deja în  1761 de Johann Heinrich Lambert, deci este un număr neraţionabil.
În lumea matematicii moderne, imposibilitatea cuadraturii cercului se bazează pe demonstraţia din 1882 a lui  Ferdinand von Lindemann[7], care a arătat că „π este un număr nealgebric, deci neconstructibil”. Demonstraţia totuşi s-a rezumat la faptul că nu este construibil algebric, dar simpla posibilitate a construcţiei unui cerc folosind doar o riglă, contrazice afirmaţia de neconstructibilitate efectivă, fizică. Ultima parte a concluziei este incompletă, şi chiar dacă greşeala este evidentă, ea a fost acceptată ca fiind adevărată, din lipsa unor argumente de bun simţ care să o contrazică la acea vreme, sau datorită entuziasmului general cu care a fost primită demonstraţia. Dar de atunci au trecut mai bine de 130 de ani şi este cazul ca această afirmaţie eronată să fie corectată, chiar dacă la vremea respectivă nimeni nu a avut inspiraţia de a-l contrazice pe Lindemann, dealtfel unul din cei mai străluciţi matematicieni ai vremii, aflat el însuşi sub influenţa gândirii anticilor legat de construcţiile figurilor geometrice.
Conform concluziei lui Lindemann, dacă π nu este construibil fiind transcendent, atunci nici lungimea cercului nu e construibilă, fiind un multiplu de π ! Se poate crede că nici construcţia lungimii corespunzătoare valorii lui radical din doi nu este posibilă, valoarea lui fiind rezultatul unei fracţii continue infinite, deci cu un număr infinit de zecimale, la fel ca şi π.
Problema constructibilităţii geometrice  nu are legătură cu faptul că numerele transcedentale sunt sau nu algebrice. Dacă există, sunt construibile, căci natura se foloseşte de ele construind cu ajutorul lor. Teoremele lui Kroenecker demonstrază cu succes că spaţiul n este dens, în sensul că pe o dreaptă există o infinitate de puncte, deci şi numere cu o infinitate de zecimale. Este vorba aici şi de un principiu care ar trebui mai mult şi mai bine analizat, şi anume acela al acurateţii minime necesare unei aproximări [8]. În geometrie, grosimea vârfului creionului este acurateţea maximă a aproximării, fiind suficientă pentru aceste construcţii, în condiţiile în care maxima acurateţe este obţinută printr-o metodă corectă, aşa cum se consideră metodă de maximă acurateţe metoda obţinerii valorii lui radical din 2. Până la urmă nu e necesară acurateţea maximă a rezultatului, cât a metodei de construcţie al acestuia, pentru a asigura cea mai bună aproximare a rezultatului, căci nici o măsurătoare nu se poate face cu precizie infinită. Motivul fizic pentru care nu se poate face acest lucru nu este imposibilitatea divizării infinite ci a timpului infinit necesar pentru această operaţie.
Pentru clarificarea definitivă a problemei cuadraturii cercului, trisecţiei unghiului şi altele similare, construcţiile geometrice se fac cu ajutorul riglei şi busolei. Probabil japonezii au intuit natura fizică a numărului π, din moment ce există o metodă origami pentru trisecţia unghiului. Pentru transformarea  lungimii unui arc de cerc într-o lungime lineară se foloseşte rostogolirea busolei de-a lungul riglei, iar pentru transformarea unei lungimi lineare în lungimea unui arc de cerc se foloseşte rotirea riglei pe circumferinţa busolei.  Poate pare curios, dar cei de la care matematicienii şi filosofii greci au preluat cunoştinţele, chiar foloseau busola, pentru că este necesar să se verifice perpendicularitatea axei busolei pe riglă pentru marcarea precisă a punctului pe riglă. Cum acul busolei indică o singură direcţie, este uşor de verificat vizual perpendicularitatea acestuia pe cele două marcaje, de pe riglă şi de pe cercul busolei. Ca o observaţie importantă, busola este un mecanism, ceea ce sugerează că este vorba de folosirea unui mecanism de transformare a lungimilor din curbe în drepte, inclusiv la nivel logic, abstract, pentru care aparatul matematic are la dispoziţie unghiurile, funcţiile trigonometrice, etc. Este firesc să se folosească un mecanism fizic pentru trasarea acestor tipuri de lungimi în geometrie.
De fapt π nu este rezultatul unei ecuaţii cu coeficienţi numerici raţionabili, fiind rezultatul uneia din transformările lungimii curbelor în lungime a dreptelor, care nu este o operaţie matematică, ci una fizică, ce are ca rezultat un număr în domeniul matematic. Acest lucru are şi un motiv întemeiat, de cele mai multe ori omis de marii teoreticieni, care absorbiţi de eleganţa şi subtilităţile calculului algebric se desprind de esenţa acestuia. În cazul problemelor de interpretare, de cele mai multe ori aceştia confundă cu succes realitatea fizică punând în locul ei abstractizări matematice, sau invers. Este încă un motiv pentru care trebuie foarte bine delimitate domeniile de manifestare ale existenţei.
Principalul motiv pentru care π nu este un număr algebric, este că el e o constantă (mărime) fizică, natura lui nefiind matematică, abstractă, ci experimentală. Acest lucru se poate observa din faptul că π apare în relaţii matematice care descriu fenomene ce nu au de loc de-a face în mod efectiv cu cercurile, inclusiv în teoria probabilităţilor, dar este de observat că întotdeauna apare în relaţii care implică variaţii nelineare sau ce implică timpul.
Acest lucru implică faptul că π nu poate fi calculat cu ajutorul matematicii ce impune proceduri algoritmice abstracte, conform conjecturii Church-Turing, care postulează că orice problemă de calcul bazată pe o procedură algoritmică poate fi rezolvată de către o mașină Turing. Problema calculului lui π, nu este legată de imposibilitatea construcţiei lui, ci de imposibilitatea calculului, ce ar necesita un timp infinit, chiar dacă din 1975 este disponibil  algoritmul Brent–Salamin, pur aritmetic, care dublează numărul de zecimale exacte la fiecare pas. Construcţia fizică extrem de simplă a numărului π prin rostogolirea unui disc de raza 1 peste o riglă, dovedeşte atât natura transcendentă a acestuia, cât şi imposibilitatea construcţiei lui algebrice, prin algoritmi abstracţi, ci prin algoritmi operaţionali fizici.
Ca o concluzie, se poate spune că algebra este studiul numeric al variaţiilor lineare şi nelineare ale proceselor şi fenomenelor fizice studiate cu ajutorul geometriei euclidiene. De aceea a apărut în matematică necesitatea apariţiei aşaziselor geometrii neeuclidiene, care se ocupă cu reprezentarea algebrică a variaţiilor „nelineare” din lumea naturală. Ca o consecinţă a necesităţii contopirii acestora într-un sistem unic, a apărut o ramură mai nouă a matematicii, şi anume geometria algebrică. Această ramură a matematicii se află abia la început, şi ea ar trebui să aibă ca obiectiv reprezentarea geometrică a abstractizărilor algebrice. Acest subiect însă va putea face obiectul unui studiu teoretic separat.
Dacă natura construieşte numere transcedentale, noi de ce nu ? Problema este că natura le construieşte după o regulă precisă, iar încercările noastre de a le construi altfel sunt sortite eşecului.
Aşadar, pentru reprezentarea geometrică lineară a lui π trebuie adoptată o metodă fizică de construcţie virtuală (pe hârtie, în plan) şi nu una algebrică aşa cum sugerează Euclid, care nu avea baza teoretică necesară pentru a sesiza acest lucru, ci încerca să o construiască. Cert este că limitările la un domeniu  îngust de analiză nu sunt calea potrivită pentru dezideratul cercetării. De aceea, academiile nu trebuie să fie un loc în care oameni specializaţi cercetează independent, fiecare pe domeniul lui, ci locuri unde aceştia se reunesc pentru a găsi împreună cele mai bune soluţii la problemele de orice natură. Specializarea limbajului academic până la denaturarea semantică a termenilor uzuali, este o piedică în dezvoltarea gândirii umane, pe când el ar trebui să fie un instrument de integrare cu mediul a abstractizărilor de orice natură.
Este important însă să separăm în acest fel lumea fizică naturală de abstractizările de reprezentare pe care le folosim în matematică şi să nu absolutizăm rolul matematicii în cercetare, ci să-i dăm locul cuvenit, acela de verificare abstractă, algebrică şi nu neapărat numerică a realităţii fizice, de mijloc pentru conceperea şi dezvoltarea de sisteme artificiale în armonie cu cele naturale, nu în contradicţie sau opoziţie cu acestea.






[1] Filosof şi matematician grec (499-428 î.e.n.)
[2] Matematician grec, ce a trăit la sfârşitul sec. V î.e.n., care împreună cu prietenul şi însoţitorul său Bryson din Heraclea, a stabilit limite superioare şi inferioare ale valorii lui π prin calculul ariei poligoanelor înscrise şi circumscrise unui cerc.
[3] (470-410 î.e.n.) Deşi este o asemănare de nume, nu e vorba de celebrul medic antic, al cărui jurământ îl depun la început de activitate medicii de azi.
[4] Definiţie din Dicționarul limbii române contemporane 1955-1957. mai precis, în limbaj modern, a se dezorienta.
[5] Exprimarea corectă este arc de cerc pl. arce de cerc. Pluralul arcuri se foloseşte în cazul desemnării armelor denumite generic "arc", a căror formă este asemănătoare unui arc de cerc, sau în limbajul popular, resorturilor.
[6] Clasică în sens modern, geometria putând fi studiată si cu mijloace naturale la îndemână. Este celebră afimatia lui Arhimede, care desenase cercuri pe plajă şi i-a spus soldatului care l-a ucis : “Noli turbare circulos meos!” Se presupune că de fapt i-ar fi spus : “Noli, obsecro, istum disturbare”, adică “Te implor, nu deranja nisipul acesta !”
[7] Carl Louis Ferdinand von Lindemann  - matematician german,  (n:12 aprilie 1852   d: 6 martie 1939)  
[8] Jeff Kesner : „ I suppose the philosophical analysis is: "Is infinitely accurate approximation the same as exact?"